第6章 第六章
甘霖苦笑着摆了摆手,然后把方才画的表格擦干净。
“今天的课前拓展就到这里。看一下黑板上的这道算题:今有共买豮,人出九十四,盈五十八;人出四十七,不足二百七十一。问人数、豮(fén)价各几何?”
翻译成白话就是:有一些人共同买一头猪,每人出94钱,还多剩下58钱;每人出47钱,则还差271钱。问共有多少人?这头猪的价格是多少?
这是《九章算术》中的一道题,只不过她把原题里的“物”写成了“豮”,且数字复杂得多。
袁涣偏头与陈群、陈登交流:“此乃盈不足题,需用盈不足术解,元龙、长文,你们当初都是花了多久学会的?”
陈群回道:“群用了五日。”
陈登回道:“三日。”
身为主簿的简雍在一旁听得汗颜,要知道当初他可是花了足足半个月才学会盈不足术,和这帮人比,真是人比人气死人!
“我比你们也好不到哪里去,而且说来惭愧,学此术时,年已十五。”袁涣言下之意,是甘霖给这么小的孩子教这么难的题,未免有点强人所难。
他继续问:“你们得出答案了么?”
陈登立刻回道:“七人。”
陈群沉吟片刻后回道:“六百钱。”
袁涣点点头,表示赞同。
简雍:???为什么他们不用算筹就能立刻算出来?这合理吗???
他再看向刘关张,发现这哥仨儿都眉头紧锁,在默默地掰着手指头,心里顿时感到平衡了。
“老师,豮是什么?”
提问的姑娘原名叫“嘉树”,取自《橘颂》。但由于她的数学是学得最好的,甘霖后来索性给她改成了“嘉数”。
甘霖抬手盖住了这个字的右半边:“左边认识吧?”
嘉数:“认识,是豕。”
“豮,指阉割过的豕。周易第二十六卦大畜卦六五爻,曰:豮豕之牙,吉。表意是野猪去了势就会变得温顺,嘴里的长牙便不会伤人了,寓示事情吉利。”
另一个小姑娘回道:“所以想要养猪,需先把公猪阉割了,它就会变得温顺,一心只想着吃,所以才能养得好?道理是从周易来的?”
甘霖忍俊不禁地回道:“曾枝说得对。那些长短线排列的卦象本身没什么意义,但是穿凿附会的爻辞却颇有些前人体悟的义理所在,所以我们还是得找个时间专门地讲下周易。”
刘备闻言左右望了一眼,幸好陈登等人都是属于比较务实的能吏,对甘霖的贬低问卦没什么太大反应。
小吃货曾枝继续问:“那今天吃猪肉炖芋头吗?俺想吃这个……”
“哎呀!”曾枝痛呼捂头。原来是甘霖揪了一截粉笔头,精准地打到她的脑门上。
“题都还没做出来,就想着吃?还有,我说过多少次了,课上不许讲小沛方言!这句规则,你课后罚抄一百遍明天上交。”
曾枝委委屈屈地回道:“是。”
张飞听到这里才终于找到点小时候上课的感觉(阴影),想当初他背不出论语,先生就是用竹编“啪啪啪”地狠打他的手,都把手指头给打肿了,还要他罚抄背不出的内容好几十遍,于是不禁身子打了个抖。
“益德这是怎么了?大热天的发抖?”刘备关心地问道。
张飞“哈哈”地干笑了两声,说自己无事。
关羽凤目中有精光流转,笑:“莫不是想起自己被先生罚抄的事?”
刘备闻言脸上也露出笑容。
张飞只好抱拳告饶道:“两位兄长,莫要再取笑俺了!”
刘备抬抬手表示不讲了,但脸上的笑意是怎么也压不下去。
甘霖在上面拍黑板:“有没有人做出来了?”
嘉数举手:“回老师,七个人,猪价六百钱。”
甘霖眼睛一亮,向她挥手:“来来来,嘉数上来,把你解题的思路过程给大家讲一讲。”
嘉数拿了粉笔,在黑板上边写边说道:“不知道有几个人,用●表示人数,每个人出94钱,还多剩下58钱,一头猪的价钱就是94个●减掉58。每人出47钱,则还差271钱,一头猪的价钱就是47个●加上271。”
“94●-58=47●+271,左右同时去掉47个●,47●-58=271。再同时加58,47●=329。人数●就等于329除于47,看329尾数9,七七四十九,代入7算一下符合。答案是七个人。7x94=658,减掉58等于600钱。再去代入检验7x47=329,加271等于600钱无误。”
“所以是七个人,一头猪价六百钱。”
嘉数话音一落,甘霖便忍不住给她鼓掌。本来她这节课就是要引入一元一次方程概念的,结果嘉数无师自通,怎能不令她欣喜?
简雍感叹道:“这小娘子的心算能力好强!岂非神童耶!”
陈登却说:“看见她用的那些代表数字、代表加减乘除的符号了吗?样子古怪但似乎是自成体系。”
他抓到了关键,因为甘霖给她们打的底子就是现代数学,所以嘉数可以无师自通一元一次方程组,虽然有几分聪明,但也还到不了天才神童的那种地步。
甘霖讲了下一元一次方程的概念,主要是如何选择未知量假设,如何找出等量关系,接下去的计算反而不是难点,因为他们已经练了两年的纯计算。
随后甘霖改回了数字,仍是算经上的这道例题,让他们用方程计算,六个人除阳群和曾枝外,其他人已经能基本掌握了,这个结果让她很满意。
至于阳群和曾枝,一个是碰到数字就脑子打结,一个是满脑子都想着吃,这两个活宝她早就不抱希望了!
“一元一次方程组,必须要掌握。现在我来拓展讲一下盈不足术,这个只做了解,不要求掌握。今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?
解题思路是要将盈余和不足互相抵消。所以盈余者买不足数的物,不足者买盈余数的物。按这题来看,前一种方式买四物,需要32钱,盈余12钱。后一种方式买三物,需要21钱,不足12钱。两者相加共买七物,正好把盈余互相抵消。我不知道几个人,但我现在知道了买一物每个人出53÷7钱,就可以不存在盈余或不足。
接下去计算人数,同样买一物,总的出钱差距来自于每个人出钱方式的差距累成,所以人数=总出钱差÷单人出钱差。盈三加不足四,总出钱差是7,一个方式每人出八,一个方式每人出七,单人出钱差是1,相除得人数为7。7再去和我们刚刚推出来的每人买物需要出的钱相乘,得到物价53钱。”
“听懂了吗?”
“……”一阵窒息的沉默。
“算了,听不懂没关系。会用一元一次方程解这类问题就行了。”
盈不足术用现代数学算式来表示都有点复杂,更不要讲在古代纯靠文字表意,又是“法”又是“实”的1,看着还有几分像玄学能把人活活绕晕了。所以盈不足作为官吏选拔的标准题,能掌握解法的人思路多少要比常人更清晰一点。
嘉数:“老师,那为什么不直接用总出钱差÷单人出钱差得出的人数,直接代入任意一种方式算物价?”
简雍:……!
如果甘霖刚才还只是欣喜的话,现在便是喜出望外了!
因为这就是没有一元一次方程概念,在照本宣科学习盈不足术后,古代聪明人会想到的办法!
仔细剖析这种解法的内核,其实就是一元一次方程的速解,但直接越过设元和左右配平,所以可以计算得更快!哪怕到了现代的公考数学题,也还是可以用到这种解法。
二陈一袁直到这个时候才赞赏地点点头,因为这就是他们的老师在传授盈不足术方法原理之后,要么自己领悟到,要么由老师点拨。
但诸如此类的小技巧,那些寒士庶民就学不到了,他们就算能得到九章算术这样宝贵的书籍,却也只能对着盈不足术的理论文字大感头疼。
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